Soal matematika wajib kelas 10 semester 2 dan jawabannya 2021

Menjelajahi Matematika Wajib Kelas 10 Semester 2: Kumpulan Soal dan Pembahasan Lengkap untuk Persiapan Terbaik

Pendahuluan

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, namun sejatinya adalah fondasi penting bagi banyak disiplin ilmu lainnya. Bagi siswa kelas 10, semester 2 Matematika Wajib menyajikan materi yang semakin mendalam dan membutuhkan pemahaman konsep yang kuat. Kurikulum tahun 2021, meskipun mungkin sedikit beradaptasi dengan kondisi pembelajaran, umumnya tetap berfokus pada dua pilar utama di semester kedua: Trigonometri Lanjutan dan Geometri Dimensi Tiga.

Trigonometri tidak hanya sekadar menghafal rumus sinus, cosinus, dan tangen, melainkan bagaimana mengaplikasikannya dalam berbagai konteks, termasuk identitas, persamaan, dan masalah nyata. Sementara itu, Geometri Dimensi Tiga mengajak siswa untuk berpikir secara spasial, menghitung jarak dan sudut dalam bangun ruang yang seringkali kita temui dalam kehidupan sehari-hari.

Artikel ini akan menyajikan kumpulan soal-soal representatif dari kedua materi tersebut, lengkap dengan pembahasan langkah demi langkah. Tujuannya adalah membantu siswa memahami konsep, melatih kemampuan pemecahan masalah, dan mempersiapkan diri menghadapi ujian akhir semester dengan lebih percaya diri. Mari kita selami lebih dalam!

Bagian 1: Trigonometri Lanjutan

Trigonometri di kelas 10 semester 2 biasanya mencakup identitas trigonometri, persamaan trigonometri sederhana, aturan sinus dan cosinus, serta aplikasi dalam berbagai masalah. Pemahaman tentang sudut istimewa, nilai trigonometri di berbagai kuadran, dan grafik fungsi trigonometri menjadi prasyarat penting.

Konsep Kunci:

• Identitas Dasar: sin²x + cos²x = 1, tan x = sin x / cos x, dll.
• Identitas Penjumlahan/Pengurangan Sudut: (Walaupun kadang masuk di kelas 11, beberapa pengantar mungkin diberikan).
• Persamaan Trigonometri: Menemukan nilai x yang memenuhi persamaan seperti sin x = a, cos x = a, tan x = a.
• Aturan Sinus: a/sin A = b/sin B = c/sin C (untuk mencari sisi atau sudut pada segitiga non-siku-siku).
• Aturan Cosinus: a² = b² + c² – 2bc cos A (untuk mencari sisi atau sudut pada segitiga non-siku-siku).

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 1 (Identitas Trigonometri):
Buktikan identitas: (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x cos x

Pembahasan Soal 1:
Untuk membuktikan identitas, kita bisa mulai dari salah satu sisi (biasanya yang lebih kompleks) dan mengubahnya hingga sama dengan sisi lainnya.
Mulai dari ruas kiri:
(sin x + cos x)²
= (sin x + cos x) (sin x + cos x)
= sin x sin x + sin x cos x + cos x sin x + cos x * cos x
= sin²x + 2 sin x cos x + cos²x
Kita tahu bahwa sin²x + cos²x = 1 (Identitas Pythagoras).
= 1 + 2 sin x cos x
Karena ruas kiri sudah sama dengan ruas kanan, maka identitas terbukti.
Konsep yang digunakan: Pengkuadratan binomial dan identitas dasar trigonometri (sin²x + cos²x = 1).

Soal 2 (Persamaan Trigonometri):
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x – √3 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Pembahasan Soal 2:
Langkah pertama adalah mengisolasi fungsi sin x:
2 sin x – √3 = 0
2 sin x = √3
sin x = √3 / 2

Kita tahu bahwa sin 60° = √3 / 2.
Karena nilai sin x positif, maka x bisa berada di kuadran I atau kuadran II.

Kasus 1: Kuadran I
x = 60° + k * 360°
Untuk k = 0, x = 60°.

Kasus 2: Kuadran II
x = (180° – 60°) + k 360°
x = 120° + k 360°
Untuk k = 0, x = 120°.

Jadi, himpunan penyelesaian untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah 60°, 120°.
Konsep yang digunakan: Nilai fungsi trigonometri sudut istimewa, konsep kuadran, dan penyelesaian umum persamaan trigonometri.

Soal 3 (Aturan Sinus):
Pada sebuah segitiga ABC, diketahui panjang sisi AC = 10 cm, ∠ABC = 45°, dan ∠BAC = 30°. Tentukan panjang sisi BC.

Pembahasan Soal 3:
Pertama, kita cari besar sudut ∠BCA. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°.
∠BCA = 180° – ∠BAC – ∠ABC
∠BCA = 180° – 30° – 45°
∠BCA = 105°

Sekarang kita bisa menggunakan Aturan Sinus. Kita ingin mencari panjang sisi BC (kita sebut ‘a’), dan kita tahu sisi AC (kita sebut ‘b’) dan sudut-sudut yang berhadapan.
a / sin A = b / sin B
BC / sin ∠BAC = AC / sin ∠ABC
BC / sin 30° = 10 / sin 45°
BC / (1/2) = 10 / (√2 / 2)
BC = (1/2) 10 / (√2 / 2)
BC = 5 / (√2 / 2)
BC = 5 (2 / √2)
BC = 10 / √2
Untuk merasionalkan, kalikan dengan √2 / √2:
BC = (10 / √2) * (√2 / √2)
BC = 10√2 / 2
BC = 5√2 cm.

Jadi, panjang sisi BC adalah 5√2 cm.
Konsep yang digunakan: Jumlah sudut dalam segitiga dan Aturan Sinus.

Soal 4 (Aturan Cosinus):
Sebuah segitiga PQR memiliki panjang sisi PQ = 8 cm, QR = 12 cm, dan sudut ∠PQR = 60°. Tentukan panjang sisi PR.

Pembahasan Soal 4:
Kita memiliki dua sisi dan satu sudut apit, sehingga kita dapat menggunakan Aturan Cosinus untuk mencari sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut.
Misalkan PR = q, PQ = r, QR = p. Sudut ∠PQR adalah sudut Q.
q² = p² + r² – 2pr cos Q
PR² = QR² + PQ² – 2(QR)(PQ) cos 60°
PR² = 12² + 8² – 2(12)(8) (1/2)
PR² = 144 + 64 – 2(96) (1/2)
PR² = 208 – 96
PR² = 112
PR = √112

Untuk menyederhanakan √112:
112 = 16 7
√112 = √(16 7) = √16 * √7 = 4√7

Jadi, panjang sisi PR adalah 4√7 cm.
Konsep yang digunakan: Aturan Cosinus dan penyederhanaan bentuk akar.

Bagian 2: Geometri Dimensi Tiga

Geometri Dimensi Tiga (Bangun Ruang) di kelas 10 berfokus pada pemahaman tentang unsur-unsur bangun ruang, seperti titik, garis, dan bidang, serta menghitung jarak dan sudut antara unsur-unsur tersebut. Bangun ruang yang umum dipelajari adalah kubus, balok, limas, dan prisma.

Konsep Kunci:

• Jarak Titik ke Titik: Menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang terbentuk.
• Jarak Titik ke Garis: Mencari garis tegak lurus dari titik ke garis tersebut, lalu menggunakan Pythagoras.
• Jarak Titik ke Bidang: Mencari garis tegak lurus dari titik ke bidang, lalu menggunakan Pythagoras.
• Jarak Garis ke Garis: Jika sejajar, jaraknya adalah jarak titik pada satu garis ke garis lainnya. Jika bersilangan, cari garis yang tegak lurus terhadap keduanya.
• Sudut antara Garis dan Bidang: Proyeksikan garis ke bidang, lalu cari sudut antara garis asli dan proyeksinya.
• Sudut antara Dua Bidang: Ambil garis potong kedua bidang, lalu cari sudut antara dua garis yang tegak lurus pada garis potong tersebut di masing-masing bidang.

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 5 (Jarak Titik ke Titik):
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik A ke titik G.

Pembahasan Soal 5:
Jarak titik A ke titik G adalah diagonal ruang kubus.
Kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras dua kali.
Pertama, cari panjang diagonal bidang AC.
Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B.
AC² = AB² + BC²
AC² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72
AC = √72 = √(36 * 2) = 6√2 cm.

Kedua, perhatikan segitiga ACG. Segitiga ACG adalah segitiga siku-siku di C (karena AC terletak pada bidang alas dan CG tegak lurus bidang alas).
AG² = AC² + CG²
AG² = (6√2)² + 6²
AG² = 72 + 36
AG² = 108
AG = √108 = √(36 * 3) = 6√3 cm.

Jadi, jarak titik A ke titik G adalah 6√3 cm.
Rumus cepat diagonal ruang kubus: s√3, di mana s adalah panjang rusuk.
Konsep yang digunakan: Teorema Pythagoras untuk diagonal bidang dan diagonal ruang.

Soal 6 (Jarak Titik ke Garis):
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik B ke garis EG.

Pembahasan Soal 6:
Untuk mencari jarak titik B ke garis EG, kita perlu menarik garis dari B yang tegak lurus ke garis EG.
Perhatikan segitiga BEG.
Panjang BE = diagonal bidang = s√2 = 8√2 cm.
Panjang BG = diagonal bidang = s√2 = 8√2 cm.
Panjang EG = diagonal bidang = s√2 = 8√2 cm.
Ternyata, segitiga BEG adalah segitiga sama sisi.

Jarak titik B ke garis EG adalah tinggi segitiga sama sisi BEG dari titik B ke sisi EG.
Misalkan titik proyeksi B ke EG adalah P. Maka BP tegak lurus EG.
Panjang EP = PG = (1/2) EG = (1/2) 8√2 = 4√2 cm.
Perhatikan segitiga siku-siku BPE (siku-siku di P).
BP² = BE² – EP²
BP² = (8√2)² – (4√2)²
BP² = (64 2) – (16 2)
BP² = 128 – 32
BP² = 96
BP = √96 = √(16 6) = 4√6 cm.

Jadi, jarak titik B ke garis EG adalah 4√6 cm.
Konsep yang digunakan: Teorema Pythagoras, sifat segitiga sama sisi, dan konsep jarak titik ke garis.

Soal 7 (Jarak Titik ke Bidang):
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik C ke bidang BDG.

Pembahasan Soal 7:
Untuk mencari jarak titik C ke bidang BDG, kita bisa menggunakan konsep volume atau perbandingan. Namun, cara yang lebih intuitif adalah mencari garis yang tegak lurus dari C ke bidang BDG.
Bidang BDG adalah bidang yang melalui diagonal alas BD dan titik G.
Diagonal alas BD = s√2 = 6√2 cm.
Perhatikan titik C. Proyeksi titik C ke bidang alas ABCD adalah titik C itu sendiri.
Titik O adalah titik tengah diagonal BD. Jarak CO adalah setengah diagonal AC.
AC = 6√2 cm, maka CO = (1/2) * 6√2 = 3√2 cm.

Sekarang, perhatikan segitiga GOC. GO adalah garis yang ditarik dari G ke titik tengah BD.
Panjang GC = 6 cm.
Panjang CO = 3√2 cm.
Panjang GO (menggunakan Pythagoras pada segitiga GOC yang siku-siku di C):
GO² = GC² + CO²
GO² = 6² + (3√2)² = 36 + 18 = 54
GO = √54 = 3√6 cm.

Jarak titik C ke bidang BDG adalah tinggi segitiga GOC jika alasnya GO.
Misalkan jarak tersebut adalah ‘t’.
Luas segitiga GOC = (1/2) alas tinggi
Luas segitiga GOC = (1/2) CO GC = (1/2) 3√2 6 = 9√2 cm².
Juga, Luas segitiga GOC = (1/2) GO t
9√2 = (1/2) 3√6 t
18√2 = 3√6 t
t = 18√2 / (3√6)
t = 6√2 / √6
t = 6 √(2/6)
t = 6 * √(1/3)
t = 6 / √3
t = 6√3 / 3
t = 2√3 cm.

Jadi, jarak titik C ke bidang BDG adalah 2√3 cm.
Konsep yang digunakan: Teorema Pythagoras, konsep jarak titik ke bidang, dan penggunaan luas segitiga. (Alternatif: dapat menggunakan perbandingan pada diagonal ruang kubus).

Soal 8 (Sudut antara Garis dan Bidang):
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan besar sudut antara garis AG dan bidang ABCD.

Pembahasan Soal 8:
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis itu sendiri dengan proyeksinya pada bidang tersebut.
Garis AG.
Bidang ABCD adalah bidang alas.
Proyeksi titik G pada bidang ABCD adalah titik C (karena GC tegak lurus bidang ABCD).
Proyeksi titik A pada bidang ABCD adalah titik A itu sendiri.
Jadi, proyeksi garis AG pada bidang ABCD adalah garis AC.
Sudut yang dicari adalah sudut antara AG dan AC, yaitu ∠GAC.

Perhatikan segitiga siku-siku ACG (siku-siku di C).
Panjang AC = diagonal bidang = s√2 = 6√2 cm.
Panjang CG = rusuk = 6 cm.
Panjang AG = diagonal ruang = s√3 = 6√3 cm.

Untuk mencari sudut ∠GAC, kita bisa menggunakan fungsi tangen (depan/samping).
tan (∠GAC) = sisi depan / sisi samping = CG / AC
tan (∠GAC) = 6 / (6√2)
tan (∠GAC) = 1 / √2
tan (∠GAC) = √2 / 2

Kita tahu bahwa tan 45° = 1. Nilai √2 / 2 tidak umum dalam sudut istimewa, tapi kita bisa mencari nilai sudutnya. Dalam konteks ujian sekolah, biasanya akan keluar sudut istimewa atau diminta dalam bentuk invers trigonometri.
Jika kita diminta nilai sudutnya, gunakan arktan.
∠GAC = arctan (√2 / 2).
Atau jika diminta dalam bentuk cosinus:
cos (∠GAC) = sisi samping / sisi miring = AC / AG
cos (∠GAC) = (6√2) / (6√3)
cos (∠GAC) = √2 / √3 = √6 / 3.

Jika ini soal pilihan ganda, kemungkinan jawabannya akan dalam bentuk fungsi trigonometri atau sudut yang mendekati.
Konsep yang digunakan: Proyeksi garis ke bidang, Teorema Pythagoras, dan fungsi trigonometri.

Tips Sukses dalam Menghadapi Matematika Wajib Semester 2

1. Pahami Konsep, Bukan Hanya Hafalkan Rumus: Matematika adalah tentang logika. Pastikan Anda mengerti "mengapa" sebuah rumus bekerja, bukan hanya "bagaimana" menggunakannya.
2. Latihan Teratur: Konsistensi adalah kunci. Kerjakan berbagai jenis soal setiap hari, bahkan jika hanya 1-2 soal. Ini akan membangun kebiasaan dan kecepatan.
3. Buat Peta Konsep/Rangkuman Pribadi: Catat rumus-rumus penting, identitas, dan langkah-langkah penyelesaian untuk setiap jenis soal. Tempel di tempat yang mudah terlihat.
4. Gambar Visualisasi untuk Dimensi Tiga: Untuk soal dimensi tiga, selalu biasakan menggambar bangun ruang dan garis/bidang yang dimaksud. Ini akan sangat membantu dalam memvisualisasikan masalah.
5. Perhatikan Detail Soal: Baca soal dengan teliti. Kata kunci seperti "tegak lurus," "sejajar," "sama sisi," atau "sudut apit" sangat penting.
6. Jangan Ragu Bertanya: Jika ada konsep yang tidak dimengerti, segera tanyakan kepada guru, teman, atau cari referensi tambahan.
7. Evaluasi Kesalahan: Setelah mengerjakan soal, periksa kembali jawaban Anda. Jika ada yang salah, cari tahu di mana letak kesalahannya dan pahami agar tidak terulang.
8. Manfaatkan Sumber Belajar Online: Banyak platform dan video pembelajaran yang dapat membantu menjelaskan materi dengan cara yang berbeda dan lebih interaktif.

Kesimpulan

Matematika Wajib Kelas 10 Semester 2, dengan materi Trigonometri Lanjutan dan Geometri Dimensi Tiga, memang menuntut ketelitian dan pemahaman yang mendalam. Namun, dengan latihan yang konsisten, pemahaman konsep yang kuat, dan kemauan untuk terus belajar, setiap siswa pasti bisa menguasainya.

Soal-soal dan pembahasan yang disajikan dalam artikel ini hanyalah sebagian kecil dari variasi soal yang mungkin muncul. Gunakan ini sebagai panduan awal untuk eksplorasi lebih lanjut. Ingatlah bahwa proses belajar adalah perjalanan, dan setiap langkah kecil yang Anda ambil akan membawa Anda lebih dekat pada penguasaan materi. Semangat belajar dan semoga sukses dalam ujian Anda!